ЗАДАНИЯ

Всероссийской интернет-олимпиады по математике "Прояви себя"

для 9-х классов

(октябрь,  2013 год)

1. При каком значении параметра с один корень уравнения x² – 10x + 2c³ = 0 равен кубу другого?
2. На доске нарисован квадрат и треугольник. Линиями, параллельными сторонам, квадрат разделён на n² одинаковых квадратиков, а треугольник – на n² одинаковых треугольничков. В каждом квадратике сидела муха. Затем они перелетели в треугольнички так, что в каждом треугольничке оказалось по одной мухе, и любые две мухи, бывшие соседями в квадрате, оказались соседями и в треугольнике. Соседними считаются квадратики или треугольнички, имеющие общую сторону или вершину. При каком наибольшем n такое возможно?
3. Сколькими нулями оканчивается число 2010! (факториал 2010)?
4. Найдите сумму четырёх последовательных натуральных чисел, произведение которых равно 1680.
5. Цифры трёхзначного числа образуют арифметическую прогрессию. Если к нему прибавить 101, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Найдите это трёхзначное число.
6. В треугольнике со сторонами 12, 15 и 18 построена окружность, центр которой лежит на большей стороне, и она касается двух других сторон треугольника. Найдите длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону. В ответе укажите длину наибольшего отрезка.
7. В футбольном турнире (в один круг) участвовали 20 команд. Оказалось, что если какие-то две команды сыграли между собой вничью, то хотя бы одна из них завершила вничью всего не больше трёх игр. Каково наибольшее возможное число ничьих в таком турнире?
8. Найдите пятизначное число, которое от перестановки всех цифр в обратном порядке увеличивается в 9 раз.
9. Сколько пар целочисленных корней имеет уравнение x² + 4x – 11 = 8y?
10. Найдите последнюю цифру числа 8²⁰¹².

Задания

Всероссийской интернет-олимпиады по математике"Прояви себя"

для 9-х классов

(ноябрь, 2013 год)

1. Цифра десятков числа n⁸ нечетная. Какое наибольшее значение может принять последняя цифра натурального числа n?
2. На доске записаны 67 чисел: 12, 6, 4, … , 12/67 (эти числа определяются формулой 12/n, где знаменатель принимает значения от 1 до 67). За один шаг разрешается стереть с доски любые два числа a и  b и записать вместо них на доску 2ab - a - b + 1. После 66 шагов на доске останется одно число. Найдите его.
3. 30  студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады среди девятиклассников, причём однокурсники – одинаковое число задач, а студенты с разных курсов – разное число задач. Сколько студентов придумали ровно по одной задаче?
4. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором имеет целые корни уравнение x² + ax + a = 0.
5. Про три простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Найдите эти числа. В ответе укажите их сумму.
6. Одни рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой – за 6 часов. Сколько минут должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней производительности первых двух рабочих?
7. Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным путям – один со скоростью 60 км/ч, а другой – 90 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него в течение 6 с. Какова длина первого поезда в метрах?
8. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трёх» - втрое меньше, чем «в одной». Сколько всего учеников участвовало в олимпиадах?
9. При каком наибольшем значении x квадратный трёхчлен x² + 2x – 3 есть простое число?
10. Основания трапеции равны 4 и 16. В трапецию вписана и около неё описана окружность. Найдите квадрат произведения радиусов вписанной и описанной окружностей.

ЗАДАНИЯ

Всероссийской интернет-олимпиады по математике «Прояви себя» 

для 8-х классов

(октябрь, 2013 год)

1. Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 4, остаток от деления этого же натурального числа на 15 равен 7. Найдите остаток от деления этого натурального числа на 30.
2. В 8-м классе учится менее 50 школьников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четвёрки, 1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
3. Кусок мыла имеет форму параллелепипеда. После 7 дней использования все его размеры уменьшились вдвое. На сколько дней ещё хватит этого мыла?
4. Студент за 5 лет учёбы в институте сдал 25 экзаменов. В каждом следующем году он сдавал экзаменов больше, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов он сдал в 4 раза больше, чем на первом. Какое наибольшее количество экзаменов могло быть на четвёртом курсе?
5. У стаи сороконожек и трёхглавых драконов вместе 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки одна голова. Сколько ног у трёхглавого дракона?
6. Наименьшее общее кратное двух чисел равно 900, сумма квадратных корней из этих чисел равна 16. Найдите эти числа. В ответе укажите наибольшее из них.
7. В акционерном обществе 1899 акционеров, причём любые 1000 из них в совокупности обладают контрольным пакетом акций (не менее чем половина акций). Какую наибольшую долю (в процентах) акций может иметь один акционер?
8. Зал размером 90 на 90 метров разделён на квадратные комнаты размером 10 на 10 метров. В каждой из стен между двумя соседними комнатами имеется дверь (а в наружной стене зала дверей нет). Какое наибольшее число дверей можно открыть, чтобы в каждой комнате оказались открытыми не более одной двери?
9. В равнобедренном треугольнике основание равно 10, а разность двух неравных высот равна отношению периметра к боковой стороне. Найдите длину боковой стороны.
10. Десять игроков в пейнтбол расположились на плоской местности так, что попарные расстояния между ними могут быть любыми, и никакие три игрока не находятся на одной прямой. Каждый игрок выстрелил шариком с краской (и попал) в двух любых игроков. Какое наибольшее число шариков могло попасть в одного и того же игрока?

ЗАДАНИЯ

Всероссийской интернет-олимпиады по математике "Прояви себя"

для 8-х классов

(ноябрь, 2013 год)

1. Найдите наименьшее нечетное простое число p такое, что число p³ + 7p является точным квадратом.
2. Пусть x, y, z – произвольные числа, и пусть M – наибольшее из трех чисел 2 – x + y, 1 – y + z, 3 – z + x. Найдите наименьшее значение M.
3. Сумма двух натуральных чисел равна 777. Какое наибольшее значение может принимать общий делитель этих чисел?
4. Площади граней коробки прямоугольной формы равны 5, 12 и 15. Найдите объём коробки.
5. Найдите все трёхзначные числа, которые в 18 раз больше суммы своих цифр. В ответе укажите количество найденных чисел.
6. Четырёх кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы 7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Какова общая масса всех кошек?
7. Трёхзначное число начинается цифрой 4. Если её перенести в конец числа, то получим число, составляющее 0.75 исходного. Найдите исходное трёхзначное число.
8. Сколько пар натуральных чисел удовлетворяет уравнению x² – xy – 2x + 3y = 11.
9. Сколько обезьян в стае, если квадрат их пятой части, уменьшенной тремя, спрятались в пещере, и только одна обезьяна осталась на виду, взобравшись на дерево? Также известно, что обезьян больше 5.
10. В прямоугольную трапецию вписана окружность, центр которой удалён от концов боковой стороны на расстояния 9 и 12. Найдите периметр трапеции.